Relasi dan Fungsi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

• 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Himpunan Pasangan Berurutan. Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah. Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:3,.

• Membuat dua lingkaran atau ellips.
• Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B.
• x dan y dihubungkan dengan anak panah.
• Arah anak panah menunjukkan arah relasi.
• Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

    3. Diagram Cartesius. Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

• x=A diletakkan pada sumbu mendatar.
• y=B diletakkan pada sumbu tegak
• Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y).

    4. Dengan Rumus. f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}


Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x.

Sifat Fungsi :

1. Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2. Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3. Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4. Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan
Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas
Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak
Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi KuadratSuatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi ModulusSuatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi GenapSuatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).
b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).
c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).

Fungsi KomposisiKomposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi